L'astrophysique à la rescousse des maths

Les mirages gravitationnels sont des illustrations parfois spectaculaires de la théorie de la Relativité Générale. De tels phénomènes ont été pressentis par l’auteur même de cette théorie, à savoir Albert Einstein, mais ils n’ont été découverts que dans les années 80, grâce au télescope franco-canadien de Hawaii. Depuis, les collections de mirages gravitationnels n’ont cessé de s’étoffer, en particulier depuis la mise en service du Télescope Spatial Hubble.

Pourquoi parle-t-on de mirage gravitationnel ? Tout le monde sait plus ou moins bien ce qu’est un mirage : l’image souvent déformée d’un objet censé rester invisible car trop lointain. La lumière réfléchie ou émise par cet objet peut atteindre nos yeux grâce à la déviation des rayons lumineux, qui se propagent normalement en ligne droite. Lorsque l’air au ras du sol est surchauffé et qu’il est surmonté par une couche d’air restée relativement froide - ce qui arrive fréquemment dans un désert, par exemple - la différence de température incurve la trajectoire des rayons lumineux qui se propagent entre les deux couches d’air, tant et si bien que des objets situés derrière l’horizon deviennent visibles.

L’adjectif « gravitationnel » nous ramène à l’interprétation relativiste de la gravitation. Dans ce cadre, toute masse déforme l’espace qui l’entoure, en lui infligeant une courbure. On évoque très souvent l’image de la bille que l’on dépose sur une toile tendue, cette dernière se creusant sous et autour de la bille. Un satellite ne tourne donc pas autour d’une planète car il est attiré par elle, mais parce qu’il est en quelque sorte piégé dans le puits gravitationnel creusé dans l’espace proche de la planète. Un rayon lumineux, s’il vient à passer dans les parages de cette planète, sera lui aussi dévié de sa trajectoire rectiligne. Cette déviation peut très bien générer des images fantômes, qui deviennent les analogues des mirages terrestres.



Cette image de synthèse résume le phénomène de mirage gravitationnel. La lumière émise par la galaxie à gauche ne peut parvenir en ligne directe au Télescope Spatial Hubble, représenté à droite, car un amas de galaxies se présente en obstacle sur son chemin (au centre). Cette lumière peut toutefois emprunter le trajet fléché défléchi au-dessus et sous l'amas. Le télescope, qui ne peut savoir quel parcours a suivi la lumière qu'il enregistre, perçoit deux images de la même galaxie, de part et d'autre de l'amas qui a fait office de lentille gravitationnelle.

La plupart des mirages gravitationnels surviennent lorsque la Terre, un objet massif et un objet lumineux sont presque alignés, dans l’ordre cité. La lumière émise par le troisième objet, lorsqu’elle croise l’objet massif, peut être défléchie par lui et atteindre la Terre. Si les trois objets sont parfaitement alignés, la lumière reçue sur Terre dessinera un anneau autour de l’objet massif, qui a focalisé sur nous la lumière de l’objet lumineux comme le ferait une lentille. Par cette ressemblance avec l’optique, on parle aussi bien de « lentille gravitationnelle ». Si au contraire les trois objets ne sont pas parfaitement alignés (ce qui est bien entendu majoritairement le cas !), nous recevrons sur Terre plusieurs images de l’objet lumineux en arrière-plan ; ces images, au nombre de deux, trois ou quatre, seront toujours fortement déformées, ressemblant parfois à des arcs de cercle.



La couronne orangée qui entoure la galaxie du centre de l'image est en réalité ce que l'on appelle un anneau d'Einstein : l'image extrêmement déformée d'une galaxie située juste derrière celle qui est visible.

Voici quelques années, l’astrophysicienne Sun Hong Rhie s’employait justement à calculer combien d’images pouvait produire une lentille gravitationnelle. Elle savait que ce nombre dépendait étroitement de la forme qu’adoptait la lentille (autrement dit la manière dont la matière y est répartie), mais restreignait son étude aux groupes d’objets petits et denses, comme les étoiles ou même les planètes.

Sun Hong Rhie a ainsi imaginé un cas où quatre étoiles proches pouvaient générer pas moins de quinze images d’un seul et même objet, situé derrière le quatuor stellaire. Ce cas est cependant purement théorique, car trois étoiles de ce groupe doivent dessiner un triangle équilatéral, avec la quatrième localisée au beau milieu… En généralisant ces modèles pour un nombre quelconque d’étoiles, l’astronome a découvert que le nombre maximum d’images était donné par la formule 5n - 5, n étant le nombre d’étoiles officiant comme lentilles. Cela dit, rien ne prouvait que cette formule fournisse bien un véritable maximum.

Presque simultanément, deux mathématiciens nommés Dimitri Khavinson et Genevra Neumann s’échinaient sur un pilier de leur discipline, le dénommé théorème fondamental de l’algèbre.

Après le prélude astrophysique, un intermède mathématique, de manière à éclaircir le sujet. Le théorème fondamental de l’algèbre s’applique à des équations polynomiales, c’est-à-dire à des objets mathématiques comme x³ - 2x + 5 = 0. x³ - 2x + 5 est un polynôme, soit une somme de termes comprenant chacun une variable (dans cet exemple, x) élevée à une certaine puissance et multipliée par un certain coefficient. Le fait que ce polynôme soit égalé à zéro fait de l’ensemble une équation polynomiale. La plus haute puissance à laquelle est élevée la variable dans le polynôme (ici, 3) s’appelle le degré de l’équation. x³ - 2x + 5 = 0 est donc une équation polynomiale du troisième degré.

Résoudre cette équation revient à trouver pour quelles valeurs de la variable x l’équation est vérifiée, afin que le signe « = » mérite bien sa place. Le théorème fondamental de l’algèbre, déjà démontré au dix-huitième siècle, affirme ceci : un polynôme de degré n possède exactement n solutions, ni plus, ni moins. Dans notre exemple, x³ -2x + 5, on peut remplacer x par exactement trois valeurs pour que la somme soit nulle.

Attention, ces solutions sont parfois des nombres dits « complexes », qui contiennent la racine carrée de -1. Ainsi, l’équation polynomiale x² + 1 = 0 admet deux solutions, toutes deux complexes. Les mathématiciens les ont appelées i et -i, la lettre i minuscule remplaçant la racine carrée de -1.

Dimitri Khavinson le dit franchement : « le théorème fondamental de l’algèbre fut une véritable balise, à partir de laquelle l’algèbre moderne s’est bâtie ». Et effectivement, les étudiants mathématiciens apprennent ce théorème et sa démonstration au cours de leurs toutes premières leçons.

Avec sa collègue, Khavinson s’intéressait plus particulièrement aux fonctions rationnelles harmoniques, des objets mathématiques plus élaborés où un polynôme est divisé par un autre. En 2004, la petite équipe a montré que pour une classe simple de fonctions rationnelles harmoniques, l’ensemble des solutions pouvait être limité en nombre par la formule… 5n - 5, n étant le degré de la fonction. « Pouvait » seulement, car un maximum moindre que 5n - 5 n’était pas tout à fait exclu pour fixer le nombre de solutions.

Un troisième mathématicien, Jeff Rabin, qui avait pris connaissance des écrits de Rhie, ne pouvait que faire le lien entre les deux travaux. Ce lien devient évident quand on sait que pour calculer la position des images d’un mirage gravitationnel, il faut résoudre une équation comportant une fonction rationnelle harmonique. Jeff Rabin est donc bien placé pour savoir que « ce type d’échange d’idées entre les mathématiques et la physique est important pour les deux domaines ».

Sun Hong Rhie, qui a donc prouvé que 5n - 5 était bien le plus petit maximum que Khavinson et Neumann cherchaient, ne circule plus dans le circuit académique habituel, car ses travaux ne sont plus financés. Elle témoigne : « Je n’ai même pas pris la peine de soumettre mes articles aux revues scientifiques, car mon expérience des relectures antérieure était affreuse. J’étais une nouvelle arrivante dans le domaine des lentilles gravitationnelles ; ce que j’ai dit et la manière dont je l’ai dit doivent avoir été étrangers aux experts. »

Il faut dire que les considérations théoriques de Rhie, qui mobilisaient des objets ponctuels situés dans un même plan et sans rien entre eux, ne trouvaient pour ainsi dire aucune application pratique. Les vraies lentilles gravitationnelles sont bien plus complexes que cela : des amas de galaxies pouvant comporter des centaines de membres, réparties dans un large volume, le tout baignant dans un milieu gazeux raréfié.

Les mirages gravitationnels provoqués par de petits objets comme les étoiles ou les planètes sont encore trop petits pour être résolus avec nos instruments actuels. Seule la technique de l’interférométrie (la combinaison des signaux reçus par plusieurs télescopes) permettrait de distinguer les mirages calculés par Sun Hong Rhie.

Néanmoins, nos instruments, à défaut d’offrir une vision suffisamment fine, sont dotés de la sensibilité nécessaire pour entrevoir le phénomène de lentille gravitationnelle, sous la forme d’une augmentation de la luminosité de la source en arrière plan. C’est d’ailleurs de cette manière qu’ont été découvertes plusieurs planètes extrasolaires, parmi les plus légères connues.

Tu pourrais au moins citer tes sources.